הוכחה ודוגמה

• שאלה: רמת קושי: 1

  מהו המספר השש-ספרתי הקטן ביותר שכל ספרותיו שונות?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 3

  לשלושה קיפודים יש שלוש חתיכות גבינה של `5`, `8` ו-`11` גרם. שועל מציע לקיפודים לעזור להם לחלק את הגבינה שווה בשווה. הפעולה שהשועל יכול לעשות זה לנגוס גרם אחד מכל אחת משתי חתיכות גבינה לבחירתו. האם השועל יוכל להגיע בעזרת פעולות אלו למצב בו הוא ישאיר לשלושה הקיפודים חתיכות שוות של גבינה?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 2

  האם תוכלו לחלק `24` קילו של מסמרים לשני חלקים של `15` ו-`9` קילו בעזרת מאזני כף ללא משקולות?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת האלגוריתמים -> שקילות

• שאלה: רמת קושי: 3

  יש חמישה קטעים של שרשרת שנקרעה, שלוש חוליות בכל קטע. משה רוצה לתקן את השרשרת. מהו המספרי המינימלי של חוליות שהוא צריך לפתוח ולסגור בחזרה כדי לאחד את כל הקטעים האלה ביחד?

  הערה: השרשרת אינה מעגלית!

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה

• שאלה: רמת קושי: 2

  האם ניתן לסדר את כל המספרים מ-`1` עד `100` בשורה כך שהפרש בין כל שני מספרים סמוכים יהיה לפחות `50`? אם כן – הביאו דוגמה, אם לא – הוכיחו למה.

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• מספר קסום 15 רמת קושי: 2

  יוסי רושם על הלוח את המספר `15`. אחרי זה דני מוסיף למספר הכתוב על הלוח ספרה אחת מימין וספרה אחת משמאל, כך שהמספר החדש עדיין מתחלק ב-`15`.

  מצאו את המספר הזה. האם יש רק אפשרות אחת?

  הערה: הספרה שמוסיפים משמאל אינה אפס.

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-5 וב-25
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 2

  מצאו חמישה מספרים טבעיים שסכומם `20`, ומכפלתם `420`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 2

  על הלוח כתוב המספר `458`. תוך מהלך אחד מותר או להכפיל את המספר שכתוב על הלוח פי `2`, או למחוק את הספרה האחרונה שלו.

  האם אפשר בעזרת הפעולות האלו לקבל את המספר `14`?

  נושאים:

  אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 1

  האם יתכן שסכום של שלושה מספרים טבעיים יתחלק בכל אחד מהם?

  נושאים:

  אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 2

  על הלוח כתובים המספרים:

  `1,2^1,2^2,2^3,2^4,2^5`

  תוך פעולה אחת מותר למחוק שני מספרים שכתובים על הלוח ולרשום במקומם את ההפרש (האי-שלילי) שלהם.

  האם ניתן להגיע באמצעות פעולות כאלו למצב שעל הלוח כתוב מספר יחיד והוא `15`?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru