תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 3

• שאלה: 1 רמת קושי: 3

  המספרים a,b,c שונים מ-0, והמספרים ab,ac,bc רציונליים.

  א. הראו כי`a^2+b^2+c^2` מספר רציונלי.

  ב. הראו שאם `a^3+b^3+c^3` מספר רציונלי, אז `a+b+c` מספר רציונלי.

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים

• שאלה: 2 רמת קושי: 5

  הראו כי ב504 הספרות הימניות של `1+50+50^2+...+50^1000`

  מופיעה כל ספרה בכמות שמתחלקת ב 12 פעמים

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• שאלה: 3 רמת קושי: 4

  נתון a,b,c מספרים רציונליים שונים הוכיחו כי `sqrt{1/(a-b)^2+1/(b-c)^2 +1 /(c-a)^2}`

  רציונלי

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים

• שאלה: 4 רמת קושי: 6

  נתונים מספרים טבעיים m,n כך ש`m/n <= sqrt 23` הוכיחו כי `m/n+3/{mn} <= sqrt 23`

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים

• שאלה: 6 רמת קושי: 7

  האם יש פתרון בטבעיים למשוואה `x^2 + 12 = y^3` כך ש

  א. x זוגי (קל יותר)

  ב. x אי זוגי

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה: 5 רמת קושי: 9

  נתונים n,a,b טבעיים ככה ש`3n+1=a^2` וגם `4n+1=b^2` הוכיחו כי

  א. n מתחלק ב 8 (קל יותר)

  ב. n מתחלק ב 56

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים תורת המספרים -> חשבון השאריות