תחרות הערים גרסה עיקרית תשמ"א (1980-1981) אביב
-
ט-י שאלה: 1
מצא את כל הפתרונות השלמים k>1) yk=x2+x)
מקורות: -
ט-י שאלה: 2
תהי M קבוצה של נקודות במישור. O נקרא מרכז סימטרייה חלקי אם אפשר לזרוק מ-M נקודה כך ש-O יהיה מרכז סימטרייה רגיל של מה שנותר. כמה מרכזי סימטרייה חלקיים יכולים להיות לקבוצת נקודות סופית במישור?
מקורות:
ו. פראסולוב -
ט-י שאלה: 3
יהי ABCD מרובע קמור חסום במעגל שאלכסוניו מאונכים זה לזה. O מרכז המעגל. הוכח כי קו שבור AOC מחלק את המרובע לשני חלקים שווי שטח.
מקורות:
ו. ווארווארקין -
ט-י שאלה: 4
ל- 64 חברים סיפרו באותו זמן 64 חדשות (לכל חבר חדשה אחת). הם מתחילים לטלפן זה לזה ולהתחלף בחדשות. כל שיחה נמשכת שעה אחת. תוך כמה זמן כל החברים יכולים לדעת את כל החדשות?
מקורות:
א. אנג'אנס -
ט-י שאלה: 5
המשחק מתבצע על מישור אינסופי. שחקן אחד מזיז את הזאב ושחקן אחר – 50 כבשים. לאחר מהלך של זאב אחת הכבשים עושה מהלך אחר כך שוב זאב וכך הלאה. במהלך אחד הזאב או הכבשה לא הולכים יותר ממטר אחד לכל צד. האם בכל מצב התחלתי הזאב יוכל לתפוס לפחות כבשה אחת?
מקורות: -
י"א-י"ב שאלה: 1
נגיד ששתי פירמידות משיקות זו לזו אם אין להן נקודות פנימיות משותפות והן נחתכות במצולע מישורי לא מנוון. האם ייתכן ש 8 פירמידות במרחב ישיקו כולם אחת לשנייה?
מקורות:
א. אנג'אנס -
י"א-י"ב שאלה: 2 רמת קושי: 8
המשחק מתבצע על מישור אינסופי. שחקן אחד מזיז את הזאב ושחקן אחר – K כבשים. לאחר מהלך של זאב אחת הכבשים עושה מהלך אחר כך שוב זאב וכך הלאה. במהלך אחד הזאב או הכבשה לא הולכים יותר ממטר אחד לכל צד. האם בכל מצב התחלתי הזאב יוכל לתפוס לפחות כבשה אחת?
מקורות: -
י"א-י"ב שאלה: 3 רמת קושי: 7
הוכח כי כל מספר ממשי אפשר לרשום כסכום 9 מספרים שכל אחד מהם מורכב רק מספרות 0 ו7.
מקורות:
א. טורקוויץ' -
י"א-י"ב שאלה: 4
ל- K חברים סיפרו באותו זמן K חדשות (לכל חבר חדשה אחת). הם מתחילים לטלפן זה לזה ולהתחלף בחדשות. כל שיחה נמשכת שעה אחת. תוך כמה זמן כל החברים יכולים לדעת את כל החדשות? התבונן במקרים:
מקורות:
א. (5 נקודות) K=64
ב. (10 נקודות) K=55
ג. (12 נקודות) K=100
א. אנג'אנס -
י"א-י"ב שאלה: 5
על נייר משבצות אינסופי מסומנות 6 משבצות, כמו בציור. על כמה משבצות נמצאות אבנים. במהלך אחד מותר לקחת אבן אם אין לו אבן שכנה מלמעלה ומימינה אז מותר לזרוק את האבן ולשים 2 אבנים במקומות מעל האבן ומימינה. האם נוכל לזרוק ע"י הפעולה הזו את כל האבנים ממקומות המסומנים אם במצב ההתחלתי האבנים היו:
א. (8 נקודות) בכל המשבצות המסומנות.
ב. (8 נקודות) רק במשבצת המסומנת הכי תחתונה והכי שמאלית.O
O O
O O Oמ. קונצוויץ'
מקורות: